Question

12．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB∥CD，CD⊥AD，AD=CD=2AB=2，E，F分别为PC，CD的中点
（1）求证：平面ABE⊥平面BEF
（2）设PA=a，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角θ∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）建立坐标系，设PA=a，求出各向量的坐标，利用数量积证明AB⊥BF，AB⊥BE，故而AB⊥平面BEF，于是平面ABE⊥平面BEF；
（2）求出两平面的法向量，计算法向量的夹角，根据二面角的范围列不等式组解出a的范围．

解答 （1）证明：以A为原点，以AB，AD，AP为坐标轴建立空间直角坐标系，设PA=a，
则A（0，0，0），B（1，0，0），F（1，2，0，），E（1，1，$\frac{a}{2}$），
∴$\overrightarrow{AB}$=（1，0，0），$\overrightarrow{BE}$=（0，1，$\frac{a}{2}$），$\overrightarrow{BF}$=（0，2，0），
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BE}$=0，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BF}$=0，
∴AB⊥BE，AB⊥BF，又BE∩BF=B，
AB⊥平面BEF，又AB?平面ABE，
∴平面ABE⊥平面BEF．
（2）解：由（1）知$\overrightarrow{BD}$=（-1，2，0），$\overrightarrow{BE}$=（0，1，$\frac{a}{2}$），
设平面BDE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-x+2y=0}\\{y+\frac{a}{2}z=0}\end{array}\right.$，令z=1得$\overrightarrow{n}$=（-a，-$\frac{a}{2}$，1），
∵PA⊥平面ABCD，∴$\overrightarrow{m}$=（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{1×\sqrt{\frac{{5a}^{2}}{4}+1}}$，
∵平面EBD与平面ABCD所成锐二面角θ∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]，
∴$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{1×\sqrt{\frac{{5a}^{2}}{4}+1}}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$≤a≤$\frac{2\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定，空间向量与二面积的计算，属于中档题．