Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（acosB+bcosA）cos2C=c•cosC．
（1）求角C；
（2）若b=2a，△ABC的面积S=

3

2

sinA•sinB，求sinA及边c的值．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用,余弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，将b=2a，cosC的值代入得到c=

7

a，利用正弦定理化简，将sinC的值代入求出sinA的值，利用三角形面积公式列出关系式，代入S=

3

2

sinA•sinB，变形得到

ab

sinAsinB

=

3

sinC

，再利用正弦定理列出关系式，变形即可求出c的值．

解答： 解：（1）已知等式利用正弦定理化简得：（sinAcosB+sinBcosA）cos2C=sinCcosC，
整理得：sin（A+B）cos2C=sinCcosC，即sinCcos2C=sinCcosC，
∵sinC≠0，
∴cos2C=cosC，即2cos²C-cosC-1=0，
整理得：（2cosC+1）（cosC-1）=0，
∴cosC=-

1

2

或cosC=1，
又0＜C＜π，
∴cosC=-

1

2

，
∴C=

2π

3

；
（2）∵b=2a，cosC=-

1

2

，
∴由余弦定理得：c²=a²+（2a）²-2a•（2a）•（-

1

2

）=7a²，
∴c=

7

a，
又由正弦定理得：sinC=

7

sinA，
∵sinC=

3

2

，
∴sinA=

21

14

，
∵S=

1

2

absinC，S=

3

2

sinA•sinB，
∴

1

2

absinC=

3

2

sinA•sinB，即

ab

sinAsinB

=

3

sinC

，
∵

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，
∴（

c

sinC

）²=

a

sinA

•

b

sinB

=

ab

sinAsinB

=

3

sinC

=

3

3 2

=2，
则c=

2

sin

2π

3

=

6

2

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．