Question

已知函数f（x）在R奇函数，当x≥0时，f（x）=x²-2x．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（x）在闭区间[

1

2

，m]最大值为-

3

4

，最小值为-1，求m的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意设x＜0，利用已知的解析式求出f（-x）=x²+2x，再由f（x）=-f（-x），求出x＜0时的解析式即可；
（2）配方，利用f（x）在闭区间[

1

2

，m]的最大值为-

3

4

最小值为-1，f（1）=-1，f（

1

2

）=-

3

4

，即可求m的取值范围．

解答： 解：（1）由题意可得：设x＜0，则-x＞0；
∵当x≥0时，f（x）=x²-2x，
∴f（-x）=x²+2x，
∵函数f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴x＜0时f（x）=-x²-2x，
∴f（x）=

x2-2x，x≥0 -x2-2x，x＜0

；
（2）当x≥0时，f（x）=x²-2x=（x-1）²-1，
∵f（x）在闭区间[

1

2

，m]的最大值为-

3

4

，最小值为-1，f（1）=-1，f（

1

2

）=-

3

4

∴m的取值范围为[1，

3

2

]．

点评：本题考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，考查二次函数的最值，把x的范围转化到已知的范围内求对应的解析式是关键．