Question

设a是实数，f（x）=a-

2

2x+1

（x∈R）
（1）证明：不论a为何实数，f（x）均为增函数
（2）试确定a的值，使得f（-x）+f（x）=0恒成立．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）任取x₁＜x₂，判断f（x₁）-f（x₂）的符号，进而根据函数单调性的定义，可得结论；
（2）若f（-x）+f（x）=0恒成立，则f（x）为奇函数，由奇函数的性质有 f（0）=0，代入可求a，则f（x）为奇函数，由奇函数的性质有 f（0）=0，代入可求a．

解答： 证明：（1）设存在任意x₁＜x₂，
∴2x1+1＞0，2x2+1＞0，2x1-2x2＜0，
则f（x₁）-f（x₂）=a-

2

2x1+1

-（a-

2

2x2+1

）=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴不论a为何实数，f（x）均为增函数．
解：（2）若f（-x）+f（x）=0，则f（x）为奇函数，
则f（0）=a-1=0
∴a=1，
当a=1时，f（x）=1-

2

2x+1

=

2x-1

2x+1

满足f（-x）+f（x）=0恒成立．

点评：本题主要考查了函数的单调性的定义在证明（判断）函数单调性中的简单应用，奇函数的性质f（0）=0（0在定义域内），属于基础试题