Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB＞1，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C₁，所爬的最短路程为2

2

．
（1）求AB的长度．
（2）求该长方体外接球的表面积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）根据四边形ADD₁A是正方形，则小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C₁可能有两种途径，然后比较两个路程的大小从而求出AB的长；
（2）求出长方体外接球的半径，即可求该长方体外接球的表面积．

解答： 解：（1）设AB=x，点A到点C₁可能有两种途径，如图甲的最短路程为|AC₁|=

x2+4

．
如图乙的最短路程为|AC₁|=

x2+2x+2

，

图甲　　　　　　　　　　　图乙
∵x＞1，∴x²+2x+2＞x²+2+2=x²+4，故从点A沿长方体的表面爬到点C₁的最短距离为

x2+4

．
由题意得

x2+4

=2

2

，解得x=2．即AB的长度为2．
（2）设长方体外接球的半径为R，则（2R）²=1²+1²+2²=6，
∴R²=

3

2

，∴S_表=4πR²=6π．
即该长方体外接球的表面积为6π．

点评：本题考查棱柱的结构特征，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于中档题．