Question

17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左顶点为A（-2，0），离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，过A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于点D，交y轴为E，过点O作直线l的平行线交椭圆于点G，设△AOD，△AOE，△DOG的面积分别为S₁、S₂、S₃．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若S₁+S₂=3S₃，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可知a=2，根据椭圆的离心率，即可求得c，则b²=a²-c²=2，即可求得椭圆方程；
（2）方法一：设直线l及直线OG的方程，代入椭圆方程，根据三角形的面积公式，即可求得$\frac{2}{1+2{k}^{2}}$+1=$\frac{3}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，换元即可求得k的值，求得直线l的方程；
方法二：设直线l及直线OG的方程，代入椭圆方程，根据三角形的面积公式，则$\frac{{x}_{D}+4}{{x}_{G}}$=$\frac{2{k}^{2}+3}{\sqrt{2{k}^{2}+1}}$=3，换元即可求得k的值，求得直线l的方程．

解答 解：（1）由A（-2，0）为椭圆的左顶点，则a=2，离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则c=$\sqrt{2}$，
则b²=a²-c²=2，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）设直线l的方程为：y=k（x+2），
则$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）²+8k²x+8k²-4=0，
∴x_A•x_D=$\frac{8{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，则x_D=$\frac{4{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，则y_D=k（x_D+2）=$\frac{4k}{1+2{k}^{2}}$，则S₁=$\frac{4丨k丨}{1+2{k}^{2}}$，
直线l与y轴交点E（0，2k），则S₂=2丨k丨，
直线OG的方程为y=kx，
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，（1+2k²）x²=4，解得：x_G=$\frac{2}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，y_G=$\frac{2k}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，
∴S₃=S_△AOG=丨y_G丨=$\frac{2丨k丨}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，
由S₁+S₂=3S₃，$\frac{4丨k丨}{1+2{k}^{2}}$+2丨k丨=3×$\frac{2丨k丨}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，即$\frac{2}{1+2{k}^{2}}$+1=$\frac{3}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，
设$\sqrt{2{k}^{2}+1}$=t，则t²-3t+2=0，
解得：t=1，t=2，
由k≠1，则t＞1，故$\sqrt{2\\;{k}^{2}+1}$=2，解得：k=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
则直线l得方程，y=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$（x+2）；
方法二：由l∥OG，O到直线l的距离与A到直线OG的距离相等，
于是$\frac{{S}_{1}+{S}_{2}}{{S}_{3}}$=$\frac{丨AD丨+丨AE丨}{丨OG丨}$=$\frac{（{x}_{D}-{x}_{A}）+（{x}_{E}-{x}_{A}）}{{x}_{G}-{x}_{O}}$=$\frac{{x}_{D}+4}{{x}_{G}}$=3，
一方面，直线l的方程y=k（x+2），
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²+8k²x+8k²-4=0，
由x_A•x_D=$\frac{8{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，则x_D=$\frac{4{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
另一方面，OG的方程y=kx，
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，（1+2k²）x²=4，解得：x_G=$\frac{2}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，y_G=$\frac{2k}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，
∴$\frac{{x}_{D}+4}{{x}_{G}}$=$\frac{2{k}^{2}+3}{\sqrt{2{k}^{2}+1}}$=3，设$\sqrt{2{k}^{2}+1}$=t，则t²-3t+2=0，
解得：t=1，t=2，
由k≠1，则t＞1，故$\sqrt{2\\;{k}^{2}+1}$=2，解得：k=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
则直线l得方程，y=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$（x+2）．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．