Question

2．已知函数f（x）=|x-2|-|x+1|．
（Ⅰ）解不等式f（x）+x＞0；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤a²-2a在R上的解集为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过讨论x的范围求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质，得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）不等式f（x）+x＞0可化为|x-2|+x＞|x+1|，
当x＜-1时，-（x-2）+x＞-（x+1），解得x＞-3，即-3＜x＜-1；
当-1≤x≤2时，-（x-2）+x＞x+1，解得x＜1，即-1≤x＜1；
当x＞2时，x-2+x＞x+1，解得：x＞3，即x＞3，
综上所述，不等式f（x）+x＞0的解集为{x|-3＜x＜1或x＞3}．…（5分）
（Ⅱ）由不等式f（x）≤a²-2a，
可得|x-2|-|x+1|≤a²-2a，
∵|x-2|-|x+1|≤|x-2-x-1|=3，
∴a²-2a≥3，即a²-2a-3≥0，解得a≤-1或a≥3，
故实数a的取值范围是a≤-1或a≥3．…（10分）

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质，是一道中档题．