题目内容

2．已知平面直角坐标系xOy中，过点P（-1，-2）的直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+tcos{{45}°}}\\{y=-2+tsin{{45}°}}\end{array}}\right.$（t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ•sinθ•tanθ=4m（m＞0），直线l与曲线C相交于不同的两点M，N．
（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）若|PM|=|MN|，求实数m的值．

分析 （1）化切为弦，两边同乘ρ，结合公式x=ρcosθ，y=ρsinθ可得曲线C的直角坐标方程；直角把直线l的参数方程消去参数t可得其普通方程；
（2）联立直线方程与抛物线方程，求得M、N的横坐标，把|PM|=|MN|转化为横坐标的关系求m值．

解答 解：（1）由ρ•sinθ•tanθ=4m，得ρsin2θ=4mcosθ，即ρ2sin2θ=4mρcosθ，
∴y2=4mx（m＞0），
故曲线C的直角坐标方程为y2=4mx（m＞0），
由$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+tcos{{45}°}}\\{y=-2+tsin{{45}°}}\end{array}}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，①
消去参数t得：x-y-1=0，
故直线l的普通方程为x-y-1=0；
（2）如图，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{{y}^{2}=4mx}\end{array}\right.$，得x2+（2-4m）x+1=0．
解得：${x}_{1}=2m-1-2\sqrt{{m}^{2}-m}$，${x}_{2}=2m-1+2\sqrt{{m}^{2}-m}$．
由题意可得：$2m-1-2\sqrt{{m}^{2}-m}+1$=$4\sqrt{{m}^{2}-m}$，解得m=$\frac{9}{8}$（m＞0）．

点评 本题考查参数方程化普通方程，考查了简单曲线的极坐标方程，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．

练习册系列答案
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