已知平面直角坐标系xOy中.过点P的直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+tcos{{45}°}}\\{y=-2+tsin{{45}°}}\end{array}}\right.$.以原点O为极点.x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρ•sinθ•tanθ=4m.直线l与曲线C相交于不同的两� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．已知平面直角坐标系xOy中，过点P（-1，-2）的直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+tcos{{45}°}}\\{y=-2+tsin{{45}°}}\end{array}}\right.$（t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ•sinθ•tanθ=4m（m＞0），直线l与曲线C相交于不同的两点M，N．
（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）若|PM|=|MN|，求实数m的值．

分析（1）化切为弦，两边同乘ρ，结合公式x=ρcosθ，y=ρsinθ可得曲线C的直角坐标方程；直角把直线l的参数方程消去参数t可得其普通方程；
（2）联立直线方程与抛物线方程，求得M、N的横坐标，把|PM|=|MN|转化为横坐标的关系求m值．

解答解：（1）由ρ•sinθ•tanθ=4m，得ρsin²θ=4mcosθ，即ρ²sin²θ=4mρcosθ，
∴y²=4mx（m＞0），
故曲线C的直角坐标方程为y²=4mx（m＞0），
由$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+tcos{{45}°}}\\{y=-2+tsin{{45}°}}\end{array}}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，①
消去参数t得：x-y-1=0，
故直线l的普通方程为x-y-1=0；
（2）如图，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{{y}^{2}=4mx}\end{array}\right.$，得x²+（2-4m）x+1=0．
解得：${x}_{1}=2m-1-2\sqrt{{m}^{2}-m}$，${x}_{2}=2m-1+2\sqrt{{m}^{2}-m}$．
由题意可得：$2m-1-2\sqrt{{m}^{2}-m}+1$=$4\sqrt{{m}^{2}-m}$，解得m=$\frac{9}{8}$（m＞0）．

点评本题考查参数方程化普通方程，考查了简单曲线的极坐标方程，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．

练习册系列答案

13．在△ABC中，∠BAC=120°，AC=2AB=4，点D在BC上，且AD=BD，则AD=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

10．

某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（　　）

17．已知定义在R上偶函数f（x）满足f（x+2）•f（x）=4，且f（x）＞0，则f（2017）=2．

7．定义域为R的函数f（x）满足f（x+3）=2f（x），当x∈[-1，2）时，f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+x，x∈[-1，0）}\\{-{{（\frac{1}{2}）}^{|x-1|}}，x∈[0，2）}\end{array}}$．
若存在x∈[-4，-1），使得不等式t²-3t≥4f（x）成立，则实数t的取值范围是（-∞，1]∪[2，+∞）．

14．执行如图所示的程序框图，输出的所有值之和是37．

11．设m、n是两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列为真命题的是（　　）

	A．	若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n		B．	若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n
	C．	若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥β		D．	若α∩β=m，n?α，m⊥n，则α⊥β

12．${log_3}9\sqrt{3}$=（　　）

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