Question

17．已知定义在R上偶函数f（x）满足f（x+2）•f（x）=4，且f（x）＞0，则f（2017）=2．

Answer 1

分析 根据题意，由f（x+2）•f（x）=4①可以构造f（x+4）•f（x+2）=4②，联立两个式子可得f（x+4）=f（x），即函数f（x）的周期为4；在f（x+2）•f（x）=4中令x=1可得f（1）f（-1）=4，结合函数为偶函数可得f（1）²=4，计算可得f（1）的值，由函数的周期性可得f（2017）=f（1+4×504）=f（1），即可得答案．

解答 解：根据题意，函数f（x）满足f（x+2）•f（x）=4，①
则有f（x+4）•f（x+2）=4，②
又由f（x）＞0，联立①②可得：f（x+4）=f（x），即函数f（x）的周期为4，
在f（x+2）•f（x）=4中，令x=-1可得：f（1）f（-1）=4，
又由函数f（x）为偶函数，即f（-1）=f（1），
则有f（1）²=4，又由f（x）＞0，则有f（1）=2，
则f（2017）=f（1+4×504）=f（1）=2；
即f（2017）=2；
故答案为：2．

点评 本题考查函数值的计算，涉及函数的奇偶性与周期性，关键是求出f（1）、f（-1）的值．