Question

已知x，y满足1+cos²（2x+3y-1）=

x2+y2+2(x+1)(1-y)

x-y+1

，则xy的最小值为 （　　）

• A、

  1

  25

• B、

  1

  16

• C、

  1

  9

• D、

  1

  4

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：由题意，1≤1+cos²（2x+3y-1）≤2；再由

x2+y2+2(x+1)(1-y)

x-y+1

=（x-y+1）+

1

x-y+1

≥2，故可得

x-y+1=1 cos2(2x+3y-1)=1

，从而求得最小值．

解答：解：显然1≤1+cos²（2x+3y-1）≤2；
而

x2+y2+2(x+1)(1-y)

x-y+1

=（x-y+1）+

1

x-y+1

≥2，
又∵1+cos²（2x+3y-1）=

x2+y2+2(x+1)(1-y)

x-y+1

，
∴

x-y+1=1 cos2(2x+3y-1)=1

，
∴

y=x 2x+3y-1=kπ，k∈Z

；
故y=x=

kπ+1

5

，k∈Z；
故当k=0时，xy=x²=

1

25

是其最小值；
故选A．

点评：本题考查了三角函数的性质与基本不等式的应用，属于中档题．