Question

已知f（x）对于任意实数x，y满足f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，f（x）＞0．
（1）求f（0）并判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）的单调性，并用定义加以证明．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）首先令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），解得f（0）；然后令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）=0，从而判断f（-）与f（x）的关系；
（2）设x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，利用f（x+y）=f（x）+f（y），将f（x₂）-f（x₁）=f[x₁+（x₂-x₁）]-f（x₁）变形，从而得到f（x₂）-f（x₁）与0的关系．

解答： 解：（1）令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0
令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（x）=-f（-x），
∴f（x）是奇函数…6分
（2）函数f（x）在R上是增函数．
证明如下：
设x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，
由已知可得f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）=f[x₁+（x₂-x₁）]-f（x₁）=f（x₁）+f（x₂-x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0
（或由（1）得f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＞0）
∴f（x）在R上是增函数．…14分．

点评：本题考查了函数的奇偶性的判断以及单调性的证明；对于抽象函数的奇偶性的判断要充分利用抽象函数的等式，常用适当地赋值判断f（-x）与f（x）的关系．