Question

10．设函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），若函数y=f（x）e^x在x=-1处取得极值，则下列图象不可能为y=f（x）的图象是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 先求出函数f（x）e^x的导函数，利用x=-1为函数f（x）e^x的一个极值点可得a，b，c之间的关系，再代入函数f（x）=ax²+bx+c，对答案分别代入验证，看哪个答案不成立即可．

解答 解：由y=f（x）e^x=e^x（ax²+bx+c）⇒y′=f′（x）e^x+e^xf（x）=e^x[ax²+（b+2a）x+b+c]，
由x=-1为函数f（x）e^x的一个极值点可得，-1是方程ax²+（b+2a）x+b+c=0的一个根，
所以有a-（b+2a）+b+c=0⇒c=a．
所以函数f（x）=ax²+bx+a，对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$，且f（-1）=2a-b，f（0）=a．
对于A，由图得a＞0，f（0）＞0，f（-1）=0，不矛盾，
对于B，由图得a＜0，f（0）＜0，f（-1）=0，不矛盾，
对于C，由图得a＜0，f（0）＜0，x=-$\frac{b}{2a}$＞0⇒b＞0⇒f（-1）＜0，不矛盾，
对于D，由图得a＞0，f（0）＞0，x=-$\frac{b}{2a}$＜-1⇒b＞2a⇒f（-1）＜0与原图中f（-1）＞0矛盾，D不对．
故选：D．

点评 本题考查极值点与导函数之间的关系．一般在知道一个函数的极值点时，直接把极值点代入导数令其等0即可．可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．