Question

1．已知点P在双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$，且|PF₁|•|PF₂|=32，则△PF₁F₂的面积等于16．

Answer 1

分析 由双曲线的方程算出F₁（-5，0），F₂（5，0）．再设|PF₁|=m，|PF₂|=n，由双曲线的定义和余弦定理，结合题意建立关于m、n的方程组，解出∠F₁PF₂=90°，最后利用三角形的面积公式即可求出△PF₁F₂的面积．

解答 解：双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$，
即a²=9，b²=16，
∴c²=25，解得a=3，c=5，可得F₁（-5，0），F₂（5，0），
设|PF₁|=m，|PF₂|=n，
由双曲线的定义知|m-n|=2a=6，又已知m•n=32，
在△PF₁F₂中，由余弦定理知cos∠F₁PF₂=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}-（2c）^{2}}{2mn}$
=$\frac{（m-n）^{2}+2mn-4{c}^{2}}{2mn}$=$\frac{36+64-100}{64}$=0，
∴∠F₁PF₂=90°，
因此，△PF₁F₂的面积为S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|=$\frac{1}{2}$mn=16．
故答案为：16．

点评 本题给出双曲线的焦点三角形中，在已知两条焦半径的积的情况下求三角形的面积．着重考查了双曲线的定义与简单几何性质、正余弦定理和三角形面积公式等知识，属于中档题．