Question

15．已知椭圆C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的短轴长为2$\sqrt{3}$，离心率为$\frac{1}{2}$，点F为其在y轴正半轴上的焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若一动圆过点F，且与直线y=-1相切，求动圆圆心轨迹C₁的方程；
（Ⅲ）过F作互相垂直的两条直线l₁，l₂，其中l₁交曲线C₁于M、N两点，l₂交椭圆C于P、Q两点，求四边形PMQN面积的最小值．

Answer 1

分析 （I）由题意可得：2b=2$\sqrt{3}$，$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，又a²=b²+c²，联立解得即可得出．
（II）F（0，1），由题意可得：动圆圆心轨迹为抛物线，点F为焦点，直线y=-1为准线，即可得出方程．
（III）由题意可设直线l₁的方程为：y=kx+1，（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
则直线l₁的方程为：y=-$\frac{1}{k}$x+1，P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）．与抛物线方程联立可得：x²-4kx-4=0，利用根与系数的关系代入|MN|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=4（1+k²）．同理可得|PQ|=4$（1+\frac{1}{{k}^{2}}）$，利用S_{四边形PMQN}=$\frac{1}{2}$|MN|•|PQ|，及其基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（I）由题意可得：2b=2$\sqrt{3}$，$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，又a²=b²+c²，
联立解得b=$\sqrt{3}$，a=2，c=1．
∴椭圆C的方程为$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{3}$=1．
（II）F（0，1），由题意可得：动圆圆心轨迹为抛物线，点F为焦点，直线y=-1为准线，
因此C₁的方程为：x²=4y．
（III）解：由题意可设直线l₁的方程为：y=kx+1，（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
则直线l₁的方程为：y=-$\frac{1}{k}$x+1，P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，可得：x²-4kx-4=0，可得x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4，
∴|MN|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=4（1+k²）．
同理可得|PQ|=4$（1+\frac{1}{{k}^{2}}）$，
∴S_{四边形PMQN}=$\frac{1}{2}$|MN|•|PQ|=8（1+k²）$（1+\frac{1}{{k}^{2}}）$=8$（2+{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}）$≥8$（2+2\sqrt{{k}^{2}•\frac{1}{{k}^{2}}}）$=32，
当且仅当k=±1时取等号，此时四边形PMQN面积的最小值为32．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．