已知双曲线C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左.右焦点分别为F1.F2.O为坐标原点.P是双曲线在第一象限上的点且满足|PF1|=2|PF2|.直线PF2交双曲线C于另一点N.又点M满足$\overrightarrow{MO}$=$\overrightarrow{OP}$且∠MF2N=120°.则双曲线C的离心率为( )A� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

10．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点且满足|PF₁|=2|PF₂|，直线PF₂交双曲线C于另一点N，又点M满足$\overrightarrow{MO}$=$\overrightarrow{OP}$且∠MF₂N=120°，则双曲线C的离心率为（　　）

A．

$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

B．

$\sqrt{7}$

C．

$\sqrt{3}$

D．

$\sqrt{2}$

分析由题意，|PF₁|=2|PF₂|，|PF₁|-|PF₂|=2a，可得|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，由∠MF₂N=120°，可得∠F₁PF₂=120°，由余弦定理可得4c²=16a²+4a²-2•4a•2a•cos120°，即可求出双曲线C的离心率．

解答解：由题意，|PF₁|=2|PF₂|，
由双曲线的定义可得，|PF₁|-|PF₂|=2a，
可得|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，
由四边形PF₁MF₂为平行四边形，
又∠MF₂N=120°，可得∠F₁PF₂=120°，
在三角形PF₁F₂中，由余弦定理可得
4c²=16a²+4a²-2•4a•2a•cos120°，
即有4c²=20a²+8a²，即c²=7a²，
可得c=$\sqrt{7}$a，
即e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{7}$．
故选：B．

点评本题考查双曲线C的离心率，注意运用双曲线的定义和三角形的余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．

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	文科生	理科生	合计
获奖	5
不获奖
合计			200

附表及公式：
K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d

P（K²≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828