Question

7．已知M是抛物线C：y²=2px（p＞0）上一点，F是抛物线的焦点，∠MFx=60°且|FM|=4．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）已知点P在y轴正半轴，直线PF交抛物线C于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，其中y₁＞0，y₂＜0，试问$\frac{|PA|}{|AF|}$-$\frac{|PB|}{|BF|}$是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）抛物线的准线方程为l′：x=-$\frac{p}{2}$，推出△MNF为等边三角形，进而得到抛物线方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x-1），联立抛物线方程运用韦达定理，代入所求式子化简即可得到定值-1

解答 解：（Ⅰ）抛物线的准线方程为l′：x=-$\frac{p}{2}$，过点M作MN⊥l′交于点N，连接NF，
由抛物线的定义可知|MN|=|FM|，
又∠NMF=∠MFx=60°，
所以△MNF为等边三角形，
所以|NF|=4，于是p=2，
所以抛物线的方程为y²=4x，
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x-1），
联立y²=4x，消去y可得k²x²-（2k²+4）+k²=0，
因为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁x₂=1，x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$
又$\frac{|PA|}{|AF|}$=$\frac{{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$，$\frac{|PB|}{|BF|}$=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{2}-1}$，
所以$\frac{|PA|}{|AF|}$-$\frac{|PB|}{|BF|}$=$\frac{{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$-$\frac{{x}_{2}}{{x}_{2}-1}$=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{1}+{x}_{2}）}{（{x}_{1}+{x}_{2}）-1-{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2-2-\frac{4}{{k}^{2}}}{2+\frac{4}{{k}^{2}}-1-1}$=-1，
即$\frac{|PA|}{|AF|}$-$\frac{|PB|}{|BF|}$为定值，且定值为-1．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题．