Question

17．F₁、F₂是椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{7}$=1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠F₁AF₂=60°，则△F₁AF₂的面积为$\frac{7\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 利用椭圆的定义，可求得|AF₁|+|AF₂|=2a=6，|F₁F₂|=2c=2$\sqrt{2}$，先由余弦定理求得|AF₁|•|AF₂|=$\frac{28}{3}$，再利用正弦定理即可求得△F₁AF₂的面积S=$\frac{1}{2}$|AF₁|•|AF₂|sin∠F₁AF₂．

解答 解：依题意，作图如下：
∵a²=9，b²=7，
∴c²=a²-b²=2，
又|AF₁|+|AF₂|=2a=6，|F₁F₂|=2c=2$\sqrt{2}$，∠F₁AF₂=60°，
在△F₁AF₂中，由余弦定理得：
|F₁F₂|²=|AF₁|²+|AF₂|²-2|AF₁|•|AF₂|cos∠F₁AF₂
=（|AF₁|+|AF₂|）²-3|AF₁|•|AF₂|，
即4c²=4a²-3|AF₁|•|AF₂|，
∴3|AF₁|•|AF₂|=4b²=28，
∴|AF₁|•|AF₂|=$\frac{28}{3}$，
∴△F₁AF₂的面积S=$\frac{1}{2}$|AF₁|•|AF₂|sin∠F₁AF₂=$\frac{1}{2}$×$\frac{28}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{{7\sqrt{3}}}{3}$．
故答案为：$\frac{7\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，着重考查椭圆的定义与a、b、c之间的关系式的应用，考查三角形的面积公式，考查转化思想与运算能力，属于中档题．