Question

7．已知函数f（x）=x|x-a|+b，x∈R．
（1）当b=0时，判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）当a=1，b=1时，若f（2^x）=$\frac{5}{4}$，求x的值；
（3）若-1≤b＜0，且对任意x∈[0，1]不等式 f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=0时，f（x）为奇函数；当a≠0时，f（x）为非奇非偶函数．运用奇偶性的定义，即可得到结论；
（2）当a=1，b=1时，若f（2^x）=$\frac{5}{4}$，即为2^x|2^x-1|+1=$\frac{5}{4}$，当2^x≥1，当0＜2^x＜1，去掉绝对值，由指数方程的解法，即可得到所求x的值；
（3）只需考虑x∈（0，1]的情况，此时，不等式即|x-a|＜$\frac{-b}{x}$，即x+$\frac{b}{x}$＜a＜x-$\frac{b}{x}$，故（x+$\frac{b}{x}$）_max＜a＜（x-$\frac{b}{x}$）_min．利用函数的单调性求得（x+$\frac{b}{x}$）_max和（x-$\frac{b}{x}$）_min，从而求得a的取值范围．

解答 解：（1）当b=0时，f（x）=x|x-a|，
当a=0时，f（x）为奇函数；
当a≠0时，f（x）为非奇非偶函数．
理由：当a=0时，f（x）=x|x|，
f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x），
f（x）为奇函数；
当a≠0时，f（-x）=-x|-x-a|=-x|x+a|≠f（x），
且f（-x）≠-f（x），则f（x）为非奇非偶函数；
（2）当a=1，b=1时，若f（2^x）=$\frac{5}{4}$，
即为2^x|2^x-1|+1=$\frac{5}{4}$，
当2^x≥1，即x≥0时，（2^x）²-2^x-$\frac{1}{4}$=0，
解方程可得2^x=$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$或$\frac{1-\sqrt{2}}{2}$（舍去）；
当0＜2^x＜1，即x＜0时，（2^x）²-2^x+$\frac{1}{4}$=0，
解方程可得2^x=$\frac{1}{2}$．
则x=log₂$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$或x=-1；
（3）当x=0时，不等式即b＜0，显然恒成立，
故只需考虑x∈（0，1]的情况，
此时，不等式即|x-a|＜$\frac{-b}{x}$，即 x+$\frac{b}{x}$＜a＜x-$\frac{b}{x}$，
故（x+$\frac{b}{x}$）_max＜a＜（x-$\frac{b}{x}$）_min．
由于函数g（x）=x+$\frac{b}{x}$在（0，1]上单调递增，
故（x+$\frac{b}{x}$）_max=g（1）=1+b．
对于函数h（x）=x-$\frac{b}{x}$，x∈（0，1]，
当-1≤b＜0时，h（x）=x-$\frac{b}{x}$≥2$\sqrt{-b}$，
当且仅当x=$\sqrt{-b}$时，h（x）的最小值（x-$\frac{b}{x}$）_min=2$\sqrt{-b}$．
此时，要使a存在，必须有$\left\{\begin{array}{l}{-1≤b＜0}\\{1+b＜2\sqrt{-b}}\end{array}\right.$，
即-1≤b＜2$\sqrt{-b}$，此时a的取值范围是（1+b，2$\sqrt{-b}$）．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．