题目内容

10．已知函数f（x+2016）=$\frac{{{x^2}+1}}{2x}$（x＞0），则函数f（x）的最小值是（　　）
A．2B．2016C．-2015D．1

分析 先利用换元法，求出函数的解析式，再根据基本不等式即可求出最值．

解答 解：f（x+2016）=$\frac{{{x^2}+1}}{2x}$=$\frac{1}{2}$（x+$\frac{1}{x}$）
设x+2016=t，
则x=t-2016＞0，
∴f（t）=$\frac{1}{2}$（t-2016+$\frac{1}{t-2016}$），
∴f（x）=$\frac{1}{2}$（x-2016+$\frac{1}{x-2016}$）≥$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{（x-2016）•\frac{1}{x-2016}}$=1，
当且仅当x=2017时取等号，
∴函数f（x）的最小值是1，
故选：D．

点评 本题考查了函数解析式的求法和基本不等式的应用，属于中档题．

练习册系列答案
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