Question

5．设函数f（x）=|x-4|+|x-1|．
（1）解不等式：f（x）≤5；
（2）若函数g（x）=$\frac{2017x-2016}{f（x）+2m}$的定义域为R，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由于|x-4|+|x-1|表示数轴上的x对应点到4和1对应点的距离之和，而0和5 对应点到4和1对应点的距离之和正好等于5，由此求得不等式|x-4|+|x-1|≤5的解集．
（2）函数g（x）=$\frac{2017x-2016}{f（x）+2m}$的定义域为R，可得f（x）+2m≠0恒成立，|x-4|+|x-1|=-2m在R上无解，利用|x-4|+|x-1|≥3，即可求实数m的取值范围．

解答 解：（1）由于|x-4|+|x-1|表示数轴上的x对应点到4和1对应点的距离之和，
而0和5 对应点到4和1对应点的距离之和正好等于5，
故不等式|x-4|+|x-1|≤5的解集为{x|0≤x≤5}．
（2）函数g（x）=$\frac{2017x-2016}{f（x）+2m}$的定义域为R，可得f（x）+2m≠0恒成立，
∴|x-4|+|x-1|=-2m在R上无解，
∵|x-4|+|x-1|≥3，
∴-2m＜3，
∴m＞-$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于中档题．