Question

已知函数f（x）在R上为奇函数，对任意的x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁≠x₂，总有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0且f（1）=0，则不等式

f(x)-f(-x)

x

＜0的解集为（　　）

• A、（-1，0）∪（0，1）
• B、（-∞，-1）∪（0，1）
• C、（-∞，-1）∪（1，+∞）
• D、（-1，0）∪（1，+∞）

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：计算题,分类讨论,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由条件可知，f（x）在（0，+∞）上为增函数，函数f（x）在R上为奇函数，则在（-∞，0）上为增函数，f（-x）=-f（x），不等式

f(x)-f(-x)

x

＜0即为

2f(x)

x

＜0，即有

x＞0 f(x)＜0=f(1)

或

x＜0 f(x)＞0=f(-1)

，再由单调性即可得到解集．

解答： 解：由条件可知，f（x）在（0，+∞）上为增函数，
函数f（x）在R上为奇函数，则在（-∞，0）上为增函数，f（-x）=-f（x），
由f（1）=0，则f（-1）=0，
不等式

f(x)-f(-x)

x

＜0即为

2f(x)

x

＜0，
即有

x＞0 f(x)＜0=f(1)

或

x＜0 f(x)＞0=f(-1)

，
即有0＜x＜1或-1＜x＜0，
则解集为（-1，0）∪（0，1）
故选A．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断及运用：解不等式，考查运算能力，属于中档题．