Question

10．函数f（x）=x²+bx-1（b∈R）．
（Ⅰ）若函数y=f（x）在[1，+∞）上单调，求b的取值范围；
（Ⅱ）若函数y=|f（x）|-2有四个零点，求b的取值范围；
（Ⅲ）若函数y=|f（x）|在[0，|b|）上的最大值为g（b），求g（b）的表达式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）函数f（x）=x²+bx-1的图象是开口朝上，且以直线x=-$\frac{b}{2}$为对称轴的抛物线，若函数y=f（x）在[1，+∞）上单调，则-$\frac{b}{2}$≤1，解处b的取值范围；
（Ⅱ）若函数y=|f（x）|-2有四个零点，则$1+\frac{{b}^{2}}{4}＜2$，解得b的取值范围；
（Ⅲ）若函数y=|f（x）|在[0，|b|）上的最大值为g（b），结合二次函数的图象和性质分类讨论，可得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x²+bx-1的图象是开口朝上，且以直线x=-$\frac{b}{2}$为对称轴的抛物线，…（2分）
∵y=f（x）在[1，+∞）上单调，
∴-$\frac{b}{2}$≤1，
即：b≥-2…．（5分）
（Ⅱ）函数y=|f（x）|-2有四个零点，即函数y=|f（x）|与直线y=2有四个交点，
∵$f（x）={x^2}+bx-1={（x+\frac{b}{2}）^2}-1-\frac{b^2}{4}$的最小值为$-1-\frac{{b}^{2}}{4}$
∴只需$1+\frac{{b}^{2}}{4}＜2$   即：b∈（-1，1）…．（10分）
（Ⅲ）①当b＞0时，函数y=|f（x）|在[0，b）上单调增，
g（b）=max{|f（0）|，|f（b）|}=max{1，|2b²-1|}=$\left\{\begin{array}{l}1，0＜b＜1\\ 2{b}^{2}-1，b≥1\end{array}\right.$…（12分）
②当b＜0时，|f（0）|=f（|b|）=1，$f（-\frac{b}{2}）=-1-\frac{b^2}{4}$
又$\left|f（-\frac{b}{2}）\right|=1+\frac{{b}^{2}}{4}$＞1，所以g（b）=$1+\frac{{b}^{2}}{4}$…（14分）
综上所述，g（b）=$\left\{\begin{array}{l}2{b}^{2}-1，b≥1\\ 1，0＜b＜1\\ 1+\frac{{b}^{2}}{4}，b＜0\end{array}\right.$；…（15分）

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．