Question

1．某市场调查发现，某种产品在投放市场的30天中，其销售价格P（元）和时间t（天）（t∈N）的关系如图所示
（1）写出销售价格P（元）和时间t（天）的函数解析式；
（2）若日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系是Q=-t+40（0≤t≤30，t∈N），求该商品的日销售金额y（元）与时间t（天）的函数解析式；
（3）问该产品投放市场第几天时，日销售金额最高？最高值为多少元？

Answer 1

分析 （1）根据图象可知该销售价格P（元）和时间t（天）分段的两条直线，设出函数解析式求解即可．
（2）销售金额y=PQ化解可得函数解析式；
（3）利用二次函数的性质求解日销售金额最高值．

解答 解：（1）由题意：根据图象可知该销售价格P（元）和时间t（天）分段的两条直线，
设P₁=k₁t+b₁，图象过（0，19）和（25，44），
即得：19=k₁×0+b₁，44=k₁×25+b₁，
解得：b₁=19，k₁=1，
则P₁=t+19，（0≤t＜25）
设P₂=k₂t+b₂，图象过（25，75）和（30，70），
即得：$\left\{\begin{array}{l}{75={k}_{2}×25+{b}_{2}}\\{70={k}_{2}×30+{b}_{2}}\end{array}\right.$，
解得：k₂=-1，b₂=100，
则P₂=-t+100，（25≤t≤30）．
∴销售价格P（元）和时间t（天）的函数解析式为P=$\left\{\begin{array}{l}{t+19，（0≤t＜25）}\\{-t+100，（25≤t≤30）}\end{array}\right.$．
（2）日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系是Q=-t+40（0≤t≤30，t∈N），
则销售金额y=P•Q=$\left\{\begin{array}{l}{（t+19）（-t+40），（0≤t＜25）}\\{（-t+100）（-t+40），（25≤t≤30）}\end{array}\right.$；
（3）由（2）可知：当0≤t＜25时，日销售金额y=-t²+21t+760，
当t=10或11天时，日销售金额y最大为870元．
当25≤t≤30时，日销售金额y=t²-140t+4000，
当t=25天时，日销售金额y最大为1125元．
∴该产品投放市场第25天时，日销售金额最高，最高值1125元．

点评 本题考查了实际中的生活问题，熟悉图象，通过图象判断关系式建立关系求解，注意定义域的范围问题．