Question

如图，已知平面内一动点到两个定点、的距离之和为，线段的长为.

（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点作直线与轨迹交于、两点，且点在线段的上方，
线段的垂直平分线为.
①求的面积的最大值；
②轨迹上是否存在除、外的两点、关于直线对称，请说明理由.

Answer 1

（1）参考解析；（2）①；②参考解析

试题分析：（1）由于c的大小没确定，所以点A的轨迹，根据c的大小有三种情况.
（2）①由可得点A的轨迹方程为椭圆，求的面积的最大值即求出点A到直线距离的最大值.即点A在椭圆的上顶点上即可.本小题通过建立三角函数同样可以求得三角形面积最大时的情况.
②当时，显然存在除、外的两点、关于直线对称.当直线AC不垂直于时，不存在除、外的两点、关于直线对称.通过假设存在，利用点差法即可得到，.由于H,M分别是两条弦的中点，并且都被直线m平分.所以.由.所以不存在这样的直线.
试题解析：（1）因为，轨迹是以、为焦点的椭圆，3分
（2）以线段的中点为坐标原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，
可得轨迹的方程为7分
①解法1：设表示点到线段的距离
，8分
要使的面积有最大值，只要有最大值
当点与椭圆的上顶点重合时，
的最大值为10分
解法2：在椭圆中，设，记
点在椭圆上，由椭圆的定义得：

在中，由余弦定理得：
配方，得：
从而

得8分
根据椭圆的对称性，当最大时，最大
当点与椭圆的上顶点重合时，
最大值为10分
②结论：当时，显然存在除、外的两点、关于直线对称11分
下证当与不垂直时，不存在除、外的两点、关于直线对称12分
证法1：假设存在这样的两个不同的点

设线段的中点为直线
由于在上，故①
又在椭圆上，所以有
两式相减，得
将该式写为，
并将直线的斜率和线段的中点，表示代入该表达式中，
得②14分
①、②得，由（1）代入
得

即的中点为点，而这是不可能的.
此时不存在满足题设条件的点和.16分
证法2：假设存在这样的两个不同的点
，14分
则，故直线经过原点.15分
直线的斜率为，则假设不成立，
故此时椭圆上不存在两点（除了点、点外）关于直线对称16分