Question

已知椭圆C：＋＝1的离心率为，左焦点为F(－1，0)，
(1)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线L与椭圆C交于M，N两点，若，求直线L的方程；
(2)椭圆C上是否存在三点P，E，G，使得S_△OPE＝S_△OPG＝S_△OEG＝？

Answer 1

(1) 和； (2) 椭圆上不存在满足条件的三点

试题分析：(1) 由已知 可解得 ，即椭圆方程为 。可得 。根据点斜式可得直线即直线方程为，将直线方程和椭圆方程联立消去整理为关于的一元二次方程，可得根与系数的关系。再根据可求得的值，即可得所求直线方程。 (2)根据两点确定一条直线可设两点确定的直线为 l，注意讨论直线的斜率存在与否，用弦长公式可得的长，用点到线的距离公式可得点到线的距离，从而可得三角形面积。同理可得另两个三角形面积，联立方程可得三点横纵坐标的平方，根据三点坐标判断能否与点构成三角形，若能说明存在满足要求的三点否则说明不存在。
试题解析：(1)由题意：椭圆的方程为.
设点，由得直线的方程为．
由方程组消去，整理得，
可得，.
因为，
所以


由已知得，解得.
故所求直线的方程为：和
(2) 假设存在满足.
不妨设两点确定的直线为 l，
(ⅰ)当直线l的斜率不存在时， 两点关于轴对称，
所以，
因为在椭圆上，
所以.①
又因为，
所以|，②
由①、②得，
此时，.
(ⅱ)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
由题意知，将其代入得
，
其中，
即，(★)
又，
所以.
因为点到直线l的距离为，
所以.
又，
整理得 ，且符合(★)式．
此时，
.
综上所述，，结论成立．
同理可得：，
解得；.
因此只能从中选取，只能从中选取．
因此只能在这四点中选取三个不同点，
而这三点的两两连线中必有一条过原点，
与矛盾，
所以椭圆上不存在满足条件的三点