Question

已知、为椭圆的左右焦点，点为其上一点，且有
.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过的直线与椭圆交于、两点，过与平行的直线与椭圆交于、两点，求四边形的面积的最大值.

Answer 1

（1）；（2）.

试题分析：（1）设椭圆的标准方程为，先利用椭圆定义得到的值并求出的值，然后将点的坐标代入椭圆方程求出的值，最终求出椭圆的方程；（2）根据平行四边形的几何性质得到，即先求出的面积的最大值，先设直线的方程为，且、，将此直线的方程与椭圆的方程联立，结合韦达定理将的面积表示成只含的表达式，并利用换元法将代数式进行化简，最后利用基本不等式并结合双勾函数的单调性来求出面积的最大值，从而确定平行四边形面积的最大值.
（1）设椭圆的标准方程为，
由已知得，，
又点在椭圆上， ，
椭圆的标准方程为；
（2）由题意可知，四边形为平行四边形 ，
设直线的方程为，且、，
由得，
，，
，
，
令，则，，
又在上单调递增，
，的最大值为，
所以的最大值为.