Question

已知椭圆的右焦点为,离心率,是椭圆上的动点．
（1）求椭圆标准方程；
（2）若直线与的斜率乘积,动点满足,（其中实数为常数）．问是否存在两个定点,使得？若存在,求的坐标及的值；若不存在,说明理由．

Answer 1

(1) (2)存在,

试题分析：
(1)根据题意,可知,可得,从而得到椭圆方程．
(2)假设存在，因为这两点是由点决定的，而点离不开点,所以设出点,三点,根据,寻找三点坐标之间的关系．可得出结论点是椭圆上的点,根据,可知,所以得到值．进而可确定是否存在两点．
（1）有题设可知： 又
∴椭圆标准方程为
（2）假设存在这样的两点，则设，
由得,
因为点在椭圆上,所以 ,
故


由题设条件知,因此,所以．
即 所以点是椭圆上的点，
设该椭圆的左、右焦点为,则由椭圆的定义．
又因 
因此两焦点的坐标为 ．