Question

已知A，B，C是三角形△ABC三内角，向量

m

=(-1，

3

)，

n

=(cosA，sinA)，且

m

•

n

=1． 
（1）求角A；  
（2）若△ABC的面积为

3

2

，b=1，求边长a．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,正弦定理

专题：计算题,解三角形,平面向量及应用

分析：（1）运用向量的数量积的坐标表示和两角差的正弦公式，化简即可得到角A；
（2）运用三角形的面积公式和余弦定理，计算即可得到a．

解答： 解：（1）向量

m

=(-1，

3

)，

n

=(cosA，sinA)，
且

m

•

n

=1，则-cosA+

3

sinA=1，
2sin（A-

π

6

）=1，即sin（A-

π

6

）=

1

2

，
由于0＜A＜π，则A-

π

6

∈（-

π

6

，

5π

6

），
则A-

π

6

=

π

6

，则A=

π

3

；
（2）△ABC的面积为

3

2

，b=1，
则有S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

c•

3

2

=

3

2

，
解得，c=2，
则a²=b²+c²-2bccosA=1+4-2×1×2×

1

2

=3，
则a=

3

．

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示，考查三角函数的化简和求值，考察两角差的正弦公式，考查余弦定理和面积公式的运用，属于基础题．