Question

如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA=AB=

3

，AD=1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
（Ⅰ）当点E为BC的中点时，证明EF∥平面PAC；
（Ⅱ）求三棱锥E-PAD的体积；
（Ⅲ）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连结AC，EF，则EF∥PC，由此能证明EF∥平面PAC．
（Ⅱ）由已知PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，S_△PAD=

1

2

×AD×PA=

3

2

，AB就是三棱锥E-PAD的高．由此能求出三棱锥E-PAD的体积．
（Ⅲ）由已知得等腰△PAB中，AF⊥PB，BC⊥平面PAB，从而AF⊥面PBC，由此能证明无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF成立．

解答： （本小题共12分）
（Ⅰ）证明：连结AC，EF
∵点E、F分别是边BC、PB的中点
∴△PBC中，EF∥PC，…（2分）
又EF不包含于平面PAC，PC?平面PAC，…（3分）
∴当点E是BC的中点时，EF∥平面PAC．…（4分）
（Ⅱ）解：∵PA⊥平面ABCD，且AC，AB，BC?面ABCD，
∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，
∴Rt△PAD中，PA=

3

，AD=1，
∴S_△PAD=

1

2

×AD×PA=

3

2

，…（6分）
又四边形ABCD为矩形，∴AD⊥AB，
又AD和PA是面PAD上两相交直线，∴AB⊥平面PAD，
又AD∥BC，∴AB就是三棱锥E-PAD的高． …（7分）
∴V_E-PAD=

1

3

×S△PAD×AB=

1

3

×

3

2

×

3

=

1

2

．…（8分）
（Ⅲ）证明：∵PA⊥AB，PA=AB=

3

，点F是PB的中点，
∴等腰△PAB中，AF⊥PB，…（9分）
又PA⊥BC，AB⊥BC，且PA和AB是平面PAB上两相交直线，
∴BC⊥平面PAB，
又AF?平面PAB，∴AF⊥BC，…（10分）
又PB和BC是平面PBC上两相交直线
∴AF⊥面PBC，…（11分）
又PE?平面PBC，∴AF⊥PE，
∴无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF成立．…（12分）

点评：本题考查EF∥平面PAC的证明，考查三棱锥E-PAD的体积的求法，考查无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF的证明，解题时要注意空间思维能力的培养．