Question

18．若a≥0，试讨论函数g（x）=lnx+ax²-（2a+1）x在（0，+∞）上的单调性．

Answer 1

分析 求出函数的导函数，求得导函数的零点，然后对a分类分析导函数在各区间段内的符号，得到原函数的单调区间．

解答 解：$g'（x）=\frac{{2a{x^2}-（2a+1）x+1}}{x}$=$\frac{（2ax-1）（x-1）}{x}$．
∵函数g（x）的定义域为（0，+∞），
∴当a=0时，$g'（x）=-\frac{x-1}{x}$，
由g'（x）＞0，得0＜x＜1，由g'（x）＜0，得x＞1．
即函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；
当a＞0时，令g'（x）=0，得x=1或$x=\frac{1}{2a}$．
若$\frac{1}{2a}＜1$，即$a＞\frac{1}{2}$时，
由g'（x）＞0，得x＞1或$0＜x＜\frac{1}{2a}$，由g'（x）＜0，得$\frac{1}{2a}＜x＜1$．
即函数g（x）在$（0，\frac{1}{2a}）$，（1，+∞）上单调递增，在$（\frac{1}{2a}，1）$单调递减；
若$\frac{1}{2a}＞1$，即$0＜a＜\frac{1}{2}$时，
由g'（x）＞0，得$x＞\frac{1}{2a}$或0＜x＜1，由g'（x）＜0，得$1＜x＜\frac{1}{2a}$．
即函数g（x）在（0，1），$（\frac{1}{2a}，+∞）$上单调递增，在$（1，\frac{1}{2a}）$单调递减；
若$\frac{1}{2a}=1$，即$a=\frac{1}{2}$时，在（0，+∞）上恒有g'（x）≥0．
即函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．
综上所述：
当a=0时，函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；
当$0＜a＜\frac{1}{2}$时，函数g（x）在（0，1）上单调递增，
在$（1，\frac{1}{2a}）$单调递减；在$（\frac{1}{2a}，+∞）$上单调递增；
当$a=\frac{1}{2}$时，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，
当$a＞\frac{1}{2}$时，函数g（x）在$（0，\frac{1}{2a}）$上单调递增，
在$（\frac{1}{2a}，1）$单调递减；在（1，+∞）上单调递增．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题．