Question

10．如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，AB=2$\sqrt{5}$，sin∠BAC=$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，AD=3，则BD的长为3．

Answer 1

分析 先推导出sin（∠BAD+90°）=cos∠BAD=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，由此利用余弦定理能求出BD．

解答 解：在△ABC中，∵点D在BC边上，AD⊥AC，AB=2$\sqrt{5}$，sin∠BAC=$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，AD=3，
∴sin（∠BAD+90°）=cos∠BAD=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}-2AB×AD×cos∠BAD}$
=$\sqrt{20+9-2×2\sqrt{5}×3×\frac{\sqrt{5}}{3}}$=3．
故答案为：3．

点评 本题考查三角形边长的求法，考查诱导公式、余弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．