Question

8．2017高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（文、理科试卷满分均为100分），并对整个高三年级的学生进行了测试．现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为[50，60），[60，70），…，[90，100]分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）．
（1）求频率分布直方图中的x的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）若高三年级共有2000名学生，试估计高三学生中这次测试成绩不低于70分的人数；
（3）若在样本中，利用分层抽样的方法从成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求[80，90），[90，100]两组中至少有1人被抽到的概率．

Answer 1

分析 （1）由频率分布直方图求出第4组的频率，从而得到x=0.02，从而可估计所抽取的50名学生成绩的平均数和中位数．
（2）先求出50名学生中成绩不低于70分的频率为0.6，由此可以估计高三年级2000名学生中成绩不低于70分的人数．
（3）三组中的人数分别为15，10，5，故这三组中所抽取的人数分别为3，2，1．记成绩在[70，80）这组的3名学生分别为a，b，c，成绩在[80，90）这组的2名学生分别为d，e，成绩在[90，100]这组的1名学生为f由此利用列举法能求出从中任抽取3人，[80，90），[90，100]两组中至少有1人被抽到的概率．

解答 解：（1）由频率分布直方图可得第4组的频率为1-0.1-0.3-0.3-0.1=0.2，
故x=0.02．
故可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为（55×0.01+65×0.03+75×0.03+85×0.02+95×0.01）×10=74（分）．
由于前两组的频率之和为0.1+0.3=0.4，前三组的频率之和为0.1+0.3+0.3=0.7，故中位数在第3组中．
设中位数为t分，
则有（t-70）×0.03=0.1，所以$t=73\frac{1}{3}$，
即所求的中位数为$73\frac{1}{3}$分．
（2）由（1）可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为0.3+0.2+0.1=0.6，
由以上样本的频率，可以估计高三年级2000名学生中成绩不低于70分的人数为2000×0.6=1200．
（3）由（1）可知，后三组中的人数分别为15，10，5，故这三组中所抽取的人数分别为3，2，1．
记成绩在[70，80）这组的3名学生分别为a，b，c，成绩在[80，90）这组的2名学生分别为d，e，
成绩在[90，100]这组的1名学生为f，
则从中任抽取3人的所有可能结果为：
（a，b，c），（a，b，d），（a，b，e），（a，b，f），（a，c，d），（a，c，e），（a，c，f），（a，d，e），
（a，d，f），（a，e，f），（b，c，d），（b，c，e），（b，c，f），（b，d，e），（b，d，f），（b，e，f），
（c，d，e），（c，d，f），（c，e，f），（d，e，f）共20种．
其中[80，90），[90，100]两组中没有人被抽到的可能结果为（a，b，c），只有1种，
故[80，90），[90，100]两组中至少有1人被抽到的概率为$P=1-\frac{1}{20}=\frac{19}{20}$．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．