Question

15．已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和S_n满足8S_n=a${\;}_{n}^{2}$+4a_n+3（∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{n}{（2n+1）{S}_{n}}$，是否存在一个最小的常数M，使得b₁+b₂+…+b_n＜m对于任意的n∈N^*均成立，若存在，求出常数m；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）利用递推关系与等差数列的通项公式即可得出；
（II）利用等差数列的前n项和公式、“裂项求和”即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵$8{S_n}={a_n}^2+4{a_n}+3$，
∴8S_n-1=${a}_{n-1}^{2}$+4a_n-1+3，（n≥2），
∴$8（{S_n}-{S_{n-1}}）={a_n}^2+4{a_n}-{a^2}_{n-1}-4{a_{n-1}}$，
∴${a_n}^2-{a^2}_{n-1}=4（{a_n}+{a_{n-1}}）$
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=4（n≥2），
∴数列{a_n}是以4为公差的等差数列．
又∵$8{S_1}={a_1}^2+4{a_1}+3$，
∴${a_1}^2-4{a_1}+3=0$，而a₁＜3，
∴a₁=1．
∴a_n=4n-3（n∈N^*）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知${S_n}=n•1+\frac{n（n-1）}{2}•4=2{n^2}-n$，
∴${b_n}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴${b_1}+{b_2}+…+{b_n}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）=\frac{n}{2n+1}$，
∵$\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{{2+\frac{1}{n}}}＜\frac{1}{2}$，
∴存在$m≥\frac{1}{2}$，使b₁+b₂+…+b_n＜m对于任意的正整数n均成立．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”、递推关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．