Question

6．下列命题中的真命题是（　　）

• A． ?x₀∈R，使得x₀+$\frac{1}{x0}$=$\frac{3}{2}$
• B． ?x∈（0，+∞），e^x＞x+1
• C． ?x₀∈R，使得x${\;}_{{0}^{\;}}$²-x₀+1=0
• D． ?x∈（0，π），sinx＞cosx

Answer 1

分析 A．利用基本不等式的性质可得：当x＞0时，$x+\frac{1}{x}$≥2；当x＜0时，$x+\frac{1}{x}$≤-2，即可判断出正误；
B．令f（x）=e^x-（x+1），f′（x）=e^x-1，利用导数研究其单调性即可判断出正误；
C．对于方程：x²-x+1=0，△＜0，可得?x∈R，x²-x+1＞0，即可判断出正误；
D．取x=$\frac{π}{6}$，$sin\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}$$＜\frac{\sqrt{3}}{2}$=$cos\frac{π}{6}$，即可判断出正误．

解答 解：A．当x＞0时，$x+\frac{1}{x}$≥2；当x＜0时，$x+\frac{1}{x}$≤-2，因此不存在x₀∈R，使得x₀+$\frac{1}{{x}_{0}}$=$\frac{3}{2}$，因此不正确；
B．令f（x）=e^x-（x+1），f′（x）=e^x-1，因此?x∈（0，+∞），f′（x）＞0，∴函数f（x）单调递增，∴f（x）＞f（0）=0，因此e^x＞x+1，正确；
C．对于方程：x²-x+1=0，∵△=1-4＜0，∴?x∈R，x²-x+1＞0，∴C不正确；
D．取x=$\frac{π}{6}$，$sin\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}$$＜\frac{\sqrt{3}}{2}$=$cos\frac{π}{6}$，因此不正确．
综上可得：只有B正确．
故选：B．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、利用导数研究函数的单调性、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．