Question

7．设$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1-{x^2}，x＜1\\ lnx，x≥1\end{array}\right.$，若函数g（x）=f（x）-ax-1有4不同的零点，则a的取值范围为$（0，\frac{1}{e^2}）$．

Answer 1

分析 利用分段函数判断x≥1时，y=ax+1与y=f（x）交点的个数，利用导函数的几何意义求解即可．

解答 解：$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1-{x^2}，x＜1\\ lnx，x≥1\end{array}\right.$，若函数g（x）=f（x）-ax-1有4不同的零点，
就是方程f（x）=ax+1有4不同的根，
就是函数y=f（x）与y=ax+1有4个交点，
因为y=ax+1恒过（0，1），而y=f（x）在x＜1时，x=0时最大值为1，
所以y=ax+1在x≥1时，与y=lnx有两个交点，才满足题意．
又y′=$\frac{1}{x}$，设切点坐标（m，n），可得$\frac{1}{m}$=$\frac{n-1}{m-0}$，解得n=2，即lnm=2，解得m=e²，
此时y=ax+1在x≥1时，与y=lnx有1个交点，所以0＜a$＜\frac{1}{{e}^{2}}$．
故答案为：$（0，\frac{1}{e^2}）$．

点评 本题考查函数与方程的应用，切线方程以及函数的零点个数的求法，考查分析问题解决问题的能力．