题目内容

17．已知f1（x）=sinx+cosx，fn+1（x）是fn（x）的导函数，即f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…，fn+1（x）=fn′（x），n∈N*，则f2015（x）=-sinx-cosx．

分析 求函数的导数，确定函数fn′（x）的周期性即可．

解答 解：∵f1（x）=sinx+cosx，
∴f2（x）=f1′（x）=cosx-sinx，
f3（x）=f2′（x）=-sinx-cosx，
f4（x）=f3′（x）=-cosx+sinx，
f5（x）=f4′（x）=sinx+cosx，
…，
fn+4′（x）=fn′（x），
即fn′（x）是周期为4的周期函数，
f2015（x）=f2014′（x）=f2′（x）=-sinx-cosx，
故答案为：-sinx-cosx

点评 本题主要考查导数的计算，根据导数公式求出函数的周期性是解决本题的关键．

练习册系列答案
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