Question

12．在△ABC中，AB=2，AC=$\frac{2}{3}$，∠BAC=60°，设D为△ABC所在平面内一点，$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{CD}$．
（Ⅰ）求线段AD的长；
（Ⅱ）求∠DAB的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在△ABC中，由题意和余弦定理求出BC、cos∠ACB，由诱导公式求出cos∠ACD，在△ACD中，由条件求出CD，由余弦定理求出AD；
（Ⅱ）在△ABD中求出BD，由余弦定理求出cos∠DAB，由内角的范围好特殊角的三角函数值求出∠DAB．

解答 解：（Ⅰ）由题意画出图象：
在△ABC中，AB=2，AC=$\frac{2}{3}$，∠BAC=60°，
则由余弦定理得，BC²=AB²+AC²-2•AB•AC•cos∠BAC
=4+$\frac{4}{9}$-$2×2×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{28}{9}$，
所以BC=$\frac{2\sqrt{7}}{3}$，
由余弦定理得，cos∠ACB=$\frac{A{C}^{2}+B{C}^{2}-A{B}^{2}}{2•AC•BC}$
=$\frac{\frac{4}{9}+\frac{28}{9}-4}{2×\frac{2}{3}×\frac{2\sqrt{7}}{3}}$=$-\frac{1}{2\sqrt{7}}$，
由∠ACB+∠ACD=π得，cos∠ACD=-cos∠ACB=$\frac{1}{2\sqrt{7}}$，
在△ACD中，由$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{CD}$得CD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{\sqrt{7}}{3}$，
由余弦定理得，AD²=CD²+AC²-2•CD•AC•cos∠ACD
=$\frac{7}{9}+\frac{4}{9}-2×\frac{\sqrt{7}}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2\sqrt{7}}$=1，
则AD=1；
（Ⅱ）由（I）得，BD=BC+CD=$\frac{2\sqrt{7}}{3}$+$\frac{\sqrt{7}}{3}$=$\sqrt{7}$，
在△ABD中，由余弦定理得，
cos∠BAD=$\frac{A{B}^{2}+A{D}^{2}-B{D}^{2}}{2•AB•AD}$=$\frac{4+1-7}{2×2×1}$=$-\frac{1}{2}$，
∵0＜∠BAD＜π，∴∠BAD=$\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查了余弦定理在解三角形的应用，以及诱导公式，考查化简、计算能力，属于中档题．