Question

5．已知抛物线C₁：y²=2px（p＞0）经过圆C₂：x²+y²-2x-4$\sqrt{2}$y-16=0的圆心，过C₁的焦点的直线l与抛物线相交于A，B两点，O为坐标原点，则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-12．

Answer 1

分析 首先解得抛物线的方程，接着，由直线的斜率是否存在进行讨论，将直线的方程与抛物线的方程进行联立，通过韦达定理，并进行一定的计算和转化，即可得出答案．

解答 解：∵抛物线C₁：y²=2px（p＞0）经过圆C₂：x²+y²-2x-4$\sqrt{2}$y-16=0的圆心，
∴圆心（1，2$\sqrt{2}$）在抛物线上，
代入，可以解得，p=4，
∴抛物线的方程为y²=8x，
∴抛物线的焦点为（2，0）
∵过C₁的焦点的直线l与抛物线相交于A，B两点，
∴分两类进行讨论：
①若直线的斜率不存在，则A（2，4），B（2，-4），
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=4-16=-12，
②若直线的斜率存在，设直线的方程为：y=k（x-2），
与抛物线的方程联立，k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}+8}{{k}^{2}}$，x₁x₂=4，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（k²+1）x₁x₂-2k²（x₁+x₂）+4k²═（k²+1）•4-2k²•$\frac{4{k}^{2}+8}{{k}^{2}}$+4k²=4-16=-12．
综上，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-12，
故答案为：-12．

点评 本题考查抛物线的方程求解方法，考查抛物线与直线的综合，属于中档题．