Question

7．已知a_n＞0，S_n为数列{a_n}的前n项和，且满足$a_n^2+2{a_n}$=4S_n+3
（1）求{a_n}的通项公式；  
（2）设${b_n}=\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$求b_n的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出a₁的值，再利用前n项和公式S_n的定义，得出a_n与a_n-1的关系，即得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）用裂项法表示出b_n，求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（Ⅰ）当n=1时，${{a}_{1}}^{2}$+2a₁=4S₁+3=4a₁+3，
因为a_n＞0，所以a₁=3…（1分）
当n≥2时，$a_n^2+2{a_n}-a_{n-1}^2-2{a_{n-1}}$=4S_n+3-4S_n-1-3=4a_n，
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=2（a_n+a_n-1），
因为a_n＞0，所以a_n-a_n-1=2，…（3分）
所以数列{a_n}是首项为3，公差为2的等差数列，
所以a_n=2n+1；…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b_n=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$）…（7分）
所以数列{b_n}的前n项和为
T_n=b₁+b₂+…+b_n
=$\frac{1}{2}$[（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{7}$）+…+（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$）]
=$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{4n+6}$…（10分）

点评 本题考查了等差数列的定义、通项公式与前n项和公式的应用问题，也考查了用裂项法求和的应用问题，是综合性题目．