Question

已知函数f（x）=

4

x

+x．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（2）用函数单调性的定义证明：f（x）在区间（0，2）上是减函数．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）函数f（x）是奇函数．运用定义，求出定义域，再计算f（-x），与f（x）比较，即可得到奇偶性；
（2）运用单调性的定义证明，注意取值、作差、变形、定符号、下结论几个步骤．

解答： 解：（1）函数f（x）是奇函数．　                    
证明：定义域为{x|x≠0}关于原点对称，
且f（-x）=-x-

4

x

=-（x+

4

x

）=-f（x），
则f（-x）=-f（x），
故f（x）是奇函数；                            
（2）证明：设m，n是（0，2）上的两个任意实数，且m＜n，
f （n）-f （m）=

4

n

+n-（

4

m

+m）                          
=

(n-m)(mn-4)

mn

，由于m，n∈（0，2）且m＜n，则n-m＞0，mn-4＜0                         
则f（n）-f（m）＜0，
则f（x）在区间（0，2）上是减函数．

点评：本题考查函数的奇偶性的判断，考查函数的单调性的证明，注意运用定义，属于基础题．