Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）上点T（3，t）到焦点F的距离为4．
（Ⅰ）求t，p的值；
（Ⅱ）设A、B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且

OA

•

OB

=5（其中O为坐标原点）．
（ⅰ）求证：直线AB必过定点，并求出该定点P的坐标；
（ⅱ）过点P作AB的垂线与抛物线交于C、D两点，求四边形ACBD面积的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用抛物线y²=2px （p＞0）上点T（3，t）到焦点F的距离为4，根据抛物线的定义，可求t，p的值；
（Ⅱ）（ⅰ）设直线AB的方程为x=my+t，代入抛物线方程，利用韦达定理，结合

OA

•

OB

=5，可求t的值，即可求出该定点P的坐标；
（ⅱ）表示出四边形ACBD面积，令m2+

1

m2

=μ(μ≥2)，则S=8

5μ2+36μ+52

是关于μ的增函数，即可求出四边形ACBD面积的最小值．

解答： （Ⅰ）解：由已知得3+

p

2

=4⇒p=2，
所以抛物线方程为y²=4x，
代入可解得t=±2

3

．…（4分）
（Ⅱ）（ⅰ）证明：设直线AB的方程为x=my+t，A(

y 2 1

4

，y1)、B(

y 2 2

4

，y2)，
联立

y2=4x x=my+t

得y²-4my-4t=0，则y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4t．…（6分）
由

OA

•

OB

=5得：

(y1y2)2

16

+y1y2=5⇒y1y2=-20或y₁y₂=4（舍去），
即-4t=-20⇒t=5，所以直线AB过定点P（5，0）；…（10分）
（ⅱ）解：由（ⅰ）得|AB|=

1+m2

|y2-y1|=

1+m2

16m2+80

，
同理得|CD|=

1+(- 1 m )2

|y2-y1|=

1+ 1 m2

16 m2 +80

，
则四边形ACBD面积S=

1

2

|AB|•|CD|=

1

2

1+m2

16m2+80

•

1+ 1 m2

16 m2 +80

=8

(2+(m2+ 1 m2 ))•(26+5(m2+ 1 m2 ))

令m2+

1

m2

=μ(μ≥2)，则S=8

5μ2+36μ+52

是关于μ的增函数，
故S_min=96．当且仅当m=±1时取到最小值96．…（15分）

点评：本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查四边形面积的计算，考查韦达定理的运用，属于中档题．