Question

1．如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠ACB=90°，点B₁在底面ABC上的射影恰为BC的中点，且BC=CA=AA₁．
（Ⅰ）求证：平面ACC₁A₁⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求证：BC₁⊥AB₁；
（Ⅲ）求二面角B-AB₁-C₁的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出B₁D⊥平面ABC，B₁D⊥AC，BC⊥AC，从而AC⊥平面BCC₁B₁，由此能证明平面ACC₁A₁⊥平面BCC₁B₁．
（Ⅱ）连结B₁C，推导出B₁C⊥BC₁，AC⊥BC₁，从而BC₁⊥平面ACB₁，由此能证明BC₁⊥AB₁．
（Ⅲ）作BH⊥AB₁于H，连结C₁H，则∠BHC₁是二面角B-AB₁-C₁的平面角，由此能求出二面角B-AB₁-C₁的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵B₁在底面ABC上的射影为D，∴B₁D⊥平面ABC，
∵AC?平面ABC，∴B₁D⊥AC，
∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，
∵B₁D∩BC=D，∴AC⊥平面BCC₁B₁，
∵AC?平面BCC₁B₁，∴平面ACC₁A₁⊥平面BCC₁B₁．
（Ⅱ）连结B₁C，∵在平行四边形BCC₁B₁中，BC=CC₁，∴平行四边形BCC₁B₁是菱形，
∴B₁C⊥BC₁，
∵AC⊥平面BCC₁B₁，BC₁?平面BCC₁B₁，
∴AC⊥BC₁，
∵B₁C∩AC=C，∴BC₁⊥平面ACB₁，
∵AB₁?平面ACB₁，∴BC₁⊥AB₁．
解：（Ⅲ）作BH⊥AB₁于H，连结C₁H，
∵AB₁⊥BC₁，BH∩BC₁=B，∴AB₁⊥平面BHC₁，
∴∠BHC₁是二面角B-AB₁-C₁的平面角，
设BC=2，则BC₁=2$\sqrt{3}$，B₁A=2$\sqrt{2}$，BH=$\frac{\sqrt{14}}{2}$，
由Rt△BB₁H≌Rt△C₁B₁H，得${C}_{1}H=BH=\frac{\sqrt{14}}{2}$，
∴cos∠BHC₁=$\frac{B{H}^{2}+{C}_{1}{H}^{2}-B{{C}_{1}}^{2}}{2BH•{C}_{1}H}$=$\frac{\frac{7}{2}+\frac{7}{2}-12}{2×\frac{\sqrt{14}}{2}×\frac{\sqrt{14}}{2}}$=-$\frac{5}{7}$．
∴二面角B-AB₁-C₁的余弦值为-$\frac{5}{7}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查线线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．