Question

17．如图，三棱锥D-ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，DB=DC=$\sqrt{5}$，DA=3，
（1）求证：DA⊥BC
（2）求二面角D-BC-A的余弦值．
（3）棱AC上是否存在点E，使DE与平面BCD所成角的正弦值为$\frac{1}{6}$？若存在，求出$\frac{AE}{AC}$的值；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析 （1）取BC中点为M，连结DM，AM，推导出BC⊥AM，BC⊥DM，由此能证明BC⊥平面ADM，从而DA⊥BC．
（2）以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，过A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-BC-A的余弦值．
（3）设$\overrightarrow{AE}$=$λ\overrightarrow{AC}$，（0≤λ≤1），则$\overrightarrow{AE}$=（2λ，0，0），求出平面DCB的一个法向量，由DE与平面BCD所成角θ的正弦值为$\frac{1}{6}$，利用向量法能求出棱AC上存在这样的点E，此时$\frac{AE}{AC}$=$\frac{1}{2}$．

解答 证明：（1）取BC中点为M，连结DM，AM，
∵AB=AC，DB=DC，∴BC⊥AM，BC⊥DM，
又AM∩DM=M，∴BC⊥平面ADM，
∵AD?平面ADM，∴DA⊥BC．
解：（2）由题意AB⊥AC，以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，
过A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，0，0），设D（a，b，c），（c＞0）
则$\left\{\begin{array}{l}{D{B}^{2}={a}^{2}+（b-2）^{2}+{c}^{2}=5}\\{D{C}^{2}=（a-2）^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}=5}\\{D{A}^{2}={a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}=9}\end{array}\right.$，解得a=2，b=2，c=1，
即D（2，2，1），$\overrightarrow{BC}$=（2，-2，0），$\overrightarrow{BD}$=（2，0，1），
设平面DCB的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=2x-2y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=2x+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，-2），
平面ABC的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∵二面角D-BC-A的平面角为钝角，
∴二面角D-BC-A的余弦值为-$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（3）若存在这样的点E，设$\overrightarrow{AE}$=$λ\overrightarrow{AC}$，（0≤λ≤1），则$\overrightarrow{AE}$=（2λ，0，0），
$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}$=（2λ-2，-2，-1），
由（2）得平面DCB的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（1，1，-2），
∵DE与平面BCD所成角θ的正弦值为$\frac{1}{6}$，
∴sinθ=|cos＜$\overrightarrow{DE}，\overrightarrow{m}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{DE}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{1}{6}$，即$\frac{|2λ-2|}{\sqrt{6}•\sqrt{（2λ-2）^{2}+5}}$=$\frac{1}{6}$，
解得$λ=\frac{1}{2}$或$λ=\frac{3}{2}$（舍），
∴棱AC上存在这样的点E，此时$\frac{AE}{AC}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足条件的点的判断与求法，是中档题，注意向量法的合理运用．