Question

11．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，DC∥AB，PA=1，AB=2，PD=BC=$\sqrt{2}$．
（1）求证：平面PAD⊥平面PCD；
（2）试在棱PB上确定一点E，使截面AEC把该几何体分成的两部分PDCEA与EACB的体积比为2：1；
（3）在（2）的条件下，求二面角E-AC-P的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出DC⊥AD，DC⊥PA，由此能证明平面PAD⊥平面PCD．
（2）作EF⊥AB于F点，则EF⊥平面ABCD，设EF=h，由V_PDCEA：V_EACB=2：1，解得h=$\frac{1}{2}$，从而得到E为PB的中点．
（3）连结FC，FD，FD与AC交于点O，连结OE，推导出EF⊥AC，FO⊥AC，EO⊥AC，从而∠EOF是二面角E-AC-B的平面角，由二面角E-ACB与二面角E-AC-P互余，能求出二面角E-AC-P的余弦值．

解答 证明：（1）∵AD⊥AB，DC∥AB，∴DC⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，∴DC⊥PA，
∵AD∩PA=A，∴DC⊥平面PAD，
∵DC?平面PCD，
∴平面PAD⊥平面PCD．
解：（2）作EF⊥AB于F点，
在△ABP中，PA⊥AB，∴EF∥PA，
∴EF⊥平面ABCD，
设EF=h，AD=$\sqrt{P{D}^{2}-P{A}^{2}}$=1，${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}AB•AD=1$，
则${V}_{P-ABC}=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•h=\frac{1}{3}h$，
${V}_{P-ABCD}=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}•PA$=$\frac{1}{3}×\frac{（1+2）×1}{2}×1$=$\frac{1}{2}$，
由V_PDCEA：V_EACB=2：1，得（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}h$）：$\frac{1}{3}h$=2：1，解得h=$\frac{1}{2}$，
EF=$\frac{1}{2}$PA，故E为PB的中点．
（3）连结FC，FD，FD与AC交于点O，连结OE，
由（2）知EF⊥平面ABCD，∴EF⊥AC，
∵ADCF为正方形，∴FO⊥AC，
∵FO∩EF=F，
∴AC⊥平面EFO，∴EO⊥AC，
∴∠EOF是二面角E-AC-B的平面角，
∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAC⊥平面ABCD，
∴二面角E-ACB与二面角E-AC-P互余，
设二面角E-AC-P的平面角为θ，
则cosθ=sin∠EOF，
在Rt△EOF中，EF=$\frac{1}{2}$，FO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，EO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
cosθ=sin$∠EOF=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴二面角E-AC-P的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足条件的点的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．