Question

13．如图：网格上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面面积中的最大值为（　　）

• A． 16
• B． 8
• C． 2$\sqrt{13}$
• D． 6

Answer 1

分析 由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图判断长线面的位置关系、由勾股定理求出棱长，由余弦定理、平方关系，三角形的面积公式求出各个面的面积，即可得到答案．

解答 解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥，
其中SC⊥平面ABC，直观图如图所示：
由三视图得，SC=4，AC=4，AB=$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{13}$，
∵SC⊥BC，∴SB=$\sqrt{16+13}=\sqrt{29}$，
同理可得SA=4$\sqrt{2}$，
∴S_△ABC=4，S_△ASC=8，${S}_{△BCS}=2\sqrt{13}$，
在△SAB中，由余弦定理得cos∠SAB=$\frac{5+32-29}{2×\sqrt{5}×4\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
则sin∠SAB=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠SAB}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴${S}_{△ABS}=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×4\sqrt{2}×\frac{3\sqrt{10}}{10}$=6，
综上可得，各面面积中的最大值为8．
故选：B．

点评 本题考查由三视图求几何体的表面积，以及余弦定理、平方关系，三角形的面积公式的应用，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．