如图.在四棱锥P-ABCD中.PA⊥平面ABCD.PA=AB=AD=2.四边形ABCD满足AB⊥AD.BC∥AD.BC=4.点M为PC中点.点E为BC边上的动点.且$\frac{BE}{EC}=λ$．(Ⅰ)求证:DM∥平面PAB, (Ⅱ)求证:平面ADM⊥平面PBC,(Ⅲ)是否存在实数λ.使得二面角P-DE-B的余弦值为$\frac{2}{3}$?若存在.试求出实数λ的值,若不存在.说明� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，四边形ABCD满足AB⊥AD，BC∥AD，BC=4，点M为PC中点，点E为BC边上的动点，且$\frac{BE}{EC}=λ$．
（Ⅰ）求证：DM∥平面PAB；
（Ⅱ）求证：平面ADM⊥平面PBC；
（Ⅲ）是否存在实数λ，使得二面角P-DE-B的余弦值为$\frac{2}{3}$？若存在，试求出实数λ的值；若不存在，说明理由．

分析（Ⅰ）以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明DM∥平面PAB．
（Ⅱ）求出平面ADM的一个法向量和平面PBC的一个法向量，利用向量法能证明平面ADM⊥平面PBC．
（Ⅲ）求出平面PDE的法向量和平面DEB的法向量，利用向量法能求出λ的值．

解答证明：（Ⅰ）以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，…（1分）
由题意得，D（0，2，0），C（2，4，0），P（0，0，2），M（1，2，1），A（0，0，0），B（2，0，0），
$\overrightarrow{DM}$=（1，0，1），平面PAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
∵$\overrightarrow{DM}•\overrightarrow{n}$=0，DM?平面PAB，
∴DM∥平面PAB．． …（4分）
解：（Ⅱ）设平面ADM的一个法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{AD}$=（0，2，0），$\overrightarrow{AM}$=（1，2，1），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=2y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=x+2y+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，0，-1），
设平面PBC的一个法向量$\overrightarrow{p}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{PB}$=（2，0，0），$\overrightarrow{PC}$=（2，4，0），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{PB}=2x-2z=0}\\{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{PC}=2x+4y-2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{p}$=（1，0，1），
∵$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{p}$=0，
∴平面ADM⊥平面PBC．…（8分）
（Ⅲ）存在符合条件的λ．
设E（2，t，0），P（0，0，2），D（0，2，0），B（2，0，0）
∴$\overrightarrow{PD}$=（0，-2，2），$\overrightarrow{DE}$=（2，t-2，0），
设平面PDE的法向量为$\overrightarrow{q}$=（a，b，c），
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{q}•\overrightarrow{PD}=-2b+2c=0}\\{\overrightarrow{q}•\overrightarrow{DE}=2a+（t-2）b=0}\end{array}\right.$，取b=2，得$\overrightarrow{q}$=（2-t，2，2），
又平面DEB即为xAy平面，其法向量$\overrightarrow{v}$=（0，0，1），
则∵二面角P-DE-B的余弦值为$\frac{2}{3}$，
∴|cos＜$\overrightarrow{q}，\overrightarrow{v}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{q}•\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{q}|•|\overrightarrow{v}|}$|=$\frac{2}{\sqrt{（2-t）^{2}+8}}$=$\frac{2}{3}$，
解得t=3或t=1，进而λ=3或λ=$\frac{1}{3}$．…（13分）