Question

11．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AA₁=BC=2AC=4．
（Ⅰ）若点P为AA₁的中点，求证：平面B₁CP⊥平面B₁C₁P；
（Ⅱ）在棱AA₁上是否存在一点P，使得二面角B₁-CP-C₁的大小为60°？若存在，求出|AP|的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出B₁C₁⊥A₁C₁，B₁C₁⊥CC₁，从而B₁C₁⊥平面ACC₁A₁，进而B₁C₁⊥CP，再求出CP⊥C₁P，从而CP⊥平面B₁C₁P，由此能证明平面B₁CP⊥平面B₁C₁P．
（Ⅱ）以C为原点，CA，CB，CC₁所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出在棱AA₁上存在一点P，使得二面角B₁-CP-C₁的大小为60°，且|AP|=2$\sqrt{2}$

解答 证明：（Ⅰ）∵∠A₁C₁B₁=∠ACB=90°，∴B₁C₁⊥A₁C₁，
由直三棱锥性质得B₁C₁⊥CC₁，且A₁C₁∩CC₁=C₁，
∴B₁C₁⊥平面ACC₁A₁，
∵CP?平面ACC₁A₁，∴B₁C₁⊥CP，
由A₁A=BC=2AC=4，P为A₁A中点，知CP=C₁P=2$\sqrt{2}$，
∴$C{P}^{2}+{C}_{1}{P}^{2}$=$C{{C}_{1}}^{2}=16$，即CP⊥C₁P，
B₁C₁∩C₁P=C₁，∴CP⊥平面B₁C₁P，
∵CP?平面B₁CP，
∴平面B₁CP⊥平面B₁C₁P．
解：（Ⅱ）如图，以C为原点，CA，CB，CC₁所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设|AP|=a，P（2，0，a），C（0，0，0），B₁（0，4，4），B（0，4，0），
$\overrightarrow{CP}$=（2，0，a），$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（0，4，4），
设平面B₁CP的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{C{B}_{1}}=4y+4z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CP}=2x+az=0}\end{array}\right.$，取z=-1，得$\overrightarrow{m}$=（$\frac{a}{2}，1，-1$），
平面C₁CP的一个法向量$\overrightarrow{CB}$=（0，4，0），
∵二面角B₁-CP-C₁的大小为60°，
∴cos60°=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CB}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{CB}|}$=$\frac{4}{4×\sqrt{\frac{{a}^{2}}{4}+2}}$=$\frac{1}{2}$，
解得a=2$\sqrt{2}＜4=A{A}_{1}$，
∴在棱AA₁上存在一点P，使得二面角B₁-CP-C₁的大小为60°，且|AP|=2$\sqrt{2}$

点评 本题考查面面垂直的证明，考查满足二面角为60°的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．