Question

已知函数,，其中R.
（1）讨论的单调性；
（2）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；
（3）设函数,当时，若，，总有成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）在上单调递减，在上单调递增;（2）;（3）.

试题分析：（1）先对求导，由于的正负与参数有关，故要对分类讨论来研究单调性; （2）先由在其定义域内为增函数转化为在不等式中求参数范围的问题，利用分离参数法和基本不等式的知识求出参数的取值范围;（3）先通过导数研究在的最值，然后根据命题“若，，总有成立”分析得到在上的最大值不小于在上的最大值，从而列出不等式组求出参数的取值范围.
试题解析：解：（1）的定义域为，且，       1分
①当时，，在上单调递增；       2分
②当时，由，得；由，得；
故在上单调递减，在上单调递增.    4分
（2），的定义域为
              5分
因为在其定义域内为增函数，所以，

而，当且仅当时取等号，所以           8分
（3）当时，，
由得或
当时，；当时，.
所以在上，       10分
而“，，总有成立”等价于
“在上的最大值不小于在上的最大值”
而在上的最大值为
所以有                  12分

所以实数的取值范围是        14分