Question

已知函数，其中e为自然对数的底数，且当x>0时恒成立．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）求实数a的所有可能取值的集合；
（Ⅲ）求证：.

Answer 1

（Ⅰ） 减区间是,增区间是；（Ⅱ）；（Ⅲ）详见解析.

试题分析：（Ⅰ）确定定义域，求，由 求得增区间，由 求得减区间；（Ⅱ）利用在区间上，恒成立，则求解；（Ⅲ）利用构造法，构造新函数求解.
试题解析：(Ⅰ),,，
的减区间是,增区间是.                       (2分)
(Ⅱ)恒成立,即,
,恒成立.                              (3分)
设,,
由于在上是增函数,且,
时,是减函数,时,是增函数,
,从而若恒成立,必有.   (5分)
又,的取值集合为.                               (6分)
(Ⅲ)由(Ⅰ)知,,即,当且仅当时等号成立,
时,有.      
,                       (9分)
设,
则,
当时,是减函数,
当时,是增函数,
,即成立.                    (12分)