Question

14．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sinx，-1），$\overrightarrow{n}$=（cosx，$\frac{3}{2}$），函数f（x）=（$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$）•$\overrightarrow{m}$．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{8}$个单位得到函数g（x）的图象，在△ABC中，角A，B，C所对边分别a，b，c，若a=3，g（$\frac{A}{2}$）=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，sinB=cosA，求b的值．

Answer 1

分析 （1）运用向量的加减运算和数量积的坐标表示，以及二倍角公式和正弦公式，由正弦函数的增区间，解不等式即可得到所求；
（2）运用图象变换，可得g（x）的解析式，由条件可得sinA，cosA，sinB的值，运用正弦定理计算即可得到所求值．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{m}$=（sinx，-1），$\overrightarrow{n}$=（cosx，$\frac{3}{2}$），
函数f（x）=（$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$）•$\overrightarrow{m}$=（sinx+cosx，$\frac{1}{2}$）•（sinx，-1）
=sin²x+sinxcosx-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$（1-2sin²x）=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
可得kπ-$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{3π}{8}$，k∈Z，
即有函数f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{3π}{8}$]，k∈Z；
（2）由题意可得g（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2（x+$\frac{π}{8}$）-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x，
g（$\frac{A}{2}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinA=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
即sinA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，cosA=±$\sqrt{1-\frac{1}{3}}$=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
在△ABC中，sinB=cosA＞0，
可得sinB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$，
可得b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{3×\frac{\sqrt{6}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查向量数量积的坐标表示和三角函数的恒等变换，考查正弦函数的图象和性质，以及图象变换，考查解三角形的正弦定理的运用，以及运算能力，属于中档题．